题目内容
12.若函数f(x)=|ax+x2-xlna-m|-3(a>0且a≠1)有两个零点,则m的取值范围( )A. | (-2,4) | B. | (-4,2) | C. | (-1,3) | D. | (-3,1) |
分析 令g(x)=ax+x2-x•lna,先讨论a>1,0<a<1求出单调区间,进而判断函数g(x)的极小值,再由y=|g(x)-m|-3有两个零点,所以方程g(x)=m±3有2个根,而m+3>m-3,所以m+3>1且m-3<1,即可得到m的取值范围.
解答 解:令g(x)=ax+x2-x•lna,
g′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,
①当a>1,x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,则g′(x)>0,
即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为x∈(-∞,0)时,lna>0,ax-1<0,
所以g′(x)<0,
即函数g(x)在(-∞,0)上单调递减;
②因为当0<a<1时,x>0,lna<0,ax-1<0,
所以g′(x)>0,
即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为当x∈(-∞,0)时,lna<0,ax-1>0,
所以g′(x)<0,
即函数g(x)在(-∞,0)上单调递减.
故:当a>0且a≠1时,g(x)在x<0时递减;g(x)在x>0时递增,
则x=0为g(x)的极小值点,且为最小值点,且最小值g(0)=1.
又函数f(x)=|g(x)-m|-3有两个零点,所以方程g(x)=m±3有二个根,
而m+3>m-3,所以m+3>1且m-3<1,
解得m∈(-2,4).
故选A.
点评 本题考查函数的零点,用导数判断函数单调性,利用导数研究函数极值,体现了转化的思想,以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力,属中档题.
练习册系列答案
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