题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
： 
的左，右焦点分别为
， 
.点
是椭圆
在
轴上方的动点，且△
的周长为16.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
到△
三边的距离均相等.
①当
时，求点
的坐标；
②求证：点
在定椭圆上.
【答案】(1) 
；（2）①
；②证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意可得
的值，再由隐含条件求得
，则椭圆方程可求；（2）①求出
点坐标，设出
的坐标，结合点
到
三边的距离均相等列方程组求得点
的坐标；②根据三角形面积以及椭圆的定义列方程组，可得
， 
，代入椭圆方程可得
， 所以点
在定椭圆上.
试题解析：（1）依题意， 
， 
，所以
，从而
， 故椭圆方程为
，（2）①当
时， 
， 则直线
的方程为： 
，直线
的方程为： 
，
所以
，且
，其中
，解得
， 
，所以点
的坐标为
；
②设
，则点
到△
三边的距离均为
，由
，
得
，其中
，所以
，则直线
的方程为： 
，即
， 所以
，且
， 且
， 化简得， 
，解得
，
将
， 
代入
，得
， 所以点
在定椭圆上.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在
轴上，还是在
轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程
或
；③找关系：根据已知条件，建立关于
、
、
的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
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