题目内容
【题目】【2016高考江苏卷】已知函数.设.
(1)求方程的根;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
(3)若,函数有且只有1个零点,求的值。
【答案】(1)①0 ②4(2)1
【解析】
试题分析:(1)①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程,求方程根②根据指数间平方关系,将不等式转化为一元不等式,再利用变量分离转化为对应函数最值,即的最小值,最后根据基本不等式求最值(2)先分析导函数零点情况:唯一零点,再确定原函数单调变化趋势:先减后增,从而结合图像确定唯一零点必在极值点取得,而,因此极值点必等于零,进而求出的值.本题难点在证明,这可利用反证法:若,则可寻找出一个区间,由结合零点存在定理可得函数存在另一零点,与题意矛盾,其中可取;若,同理可得.
试题解析:(1)因为,所以.
①方程,即,亦即,
所以,于是,解得.
②由条件知.
因为对于恒成立,且,
所以对于恒成立.
而,且,
所以,故实数的最大值为4.
(2)因为函数只有1个零点,而,
所以0是函数的唯一零点.
因为,又由知,
所以有唯一解.
令,则,
从而对任意,,所以是上的单调增函数,
于是当,;当时,.
因而函数在上是单调减函数,在上是单调增函数.
下证.
若,则,于是,
又,且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若,同理可得,在和之间存在的非0的零点,矛盾.
因此,.
于是,故,所以.
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