题目内容

【题目】【2016高考江苏卷】已知函数.设.

(1)求方程的根;

(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值;

(3)若,函数有且只有1个零点,求的值。

【答案】(1)0 4(2)1

【解析】

试题分析:(1)根据指数间倒数关系转化为一元二次方程,求方程根根据指数间平方关系,将不等式转化为一元不等式,再利用变量分离转化为对应函数最值,即的最小值,最后根据基本不等式求最值(2)先分析导函数零点情况:唯一零点,再确定原函数单调变化趋势:先减后增,从而结合图像确定唯一零点必在极值点取得,而,因此极值点必等于零,进而求出的值.本题难点在证明,这可利用反证法:若,则可寻找出一个区间,由结合零点存在定理可得函数存在另一零点,与题意矛盾,其中可取;若,同理可得.

试题解析:(1)因为,所以.

方程,即,亦即

所以,于是,解得.

由条件知.

因为对于恒成立,且

所以对于恒成立.

,且

所以,故实数的最大值为4.

(2)因为函数只有1个零点,而

所以0是函数的唯一零点.

因为,又由

所以有唯一解.

,则

从而对任意,所以上的单调增函数,

于是当;当时,.

因而函数上是单调减函数,在上是单调增函数.

下证.

,则,于是

,且函数在以为端点的闭区间上的图象不间断,所以在之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以0是函数的唯一零点矛盾.

,同理可得,在之间存在的非0的零点,矛盾.

因此,.

于是,故,所以.

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