Question

已知f(x)=loga

1-x

1+x

(a＞0，且a≠1)
（1）求f(

1

2012

)+f(-

1

2012

)的值；
（2）当x∈（-t，t]（其中t∈（-1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）当f（x-2）+f（4-3x）≥0时，求满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围．

Answer 1

（1）令

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
又f（-x）=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga

1-x

1+x

=-f（x），
所以f（x）为奇函数，
所以f(

1

2012

)+f(-

1

2012

)=f(

1

2012

)-f(

1

2012

)=0．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

．
因为-1＜x₁＜x₂＜1，
所以

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

＞0，即

1-x1

1+x1

＞

1-x2

1+x2

．
所以

1-x

1+x

在（-1，1）上为减函数，也在（-t，t]上为减函数，
①当a＞1时，y=log_at单调递增，t=

1-x

1+x

单调递减，所以y=loga

1-x

1+x

在（-t，t]上单调递减，
此时f（x）存在最小值为f（t）=loga

1-t

1+t

．
②当0＜a＜1时，y=log_at单调递减，t=

1-x

1+x

单调递减，所以y=loga

1-x

1+x

在（-t，t]上单调递增，
此时f（x）不存在最小值．
综①②知，当a＞1时，f（x）存在最小值为f（t）=loga

1-t

1+t

．
（3）f（x-2）+f（4-3x）≥0可化为f（x-2）≥-f（4-3x），
由（1）知f（x）为奇函数，所以f（x-2）≥f（3x-4），
①当a＞1时，由（2）知f（x）在（-1，1）上为减函数，
所以

x-2≤3x-4 -1＜x-2＜1 -1＜3x-4＜1

，解得1＜x＜

5

3

．
②当0＜a＜1时，由（2）知f（x）在（-1，1）上为增函数，
所以

x-2≥3x-4 -1＜x-2＜1 -1＜3x-4＜1

，解得为∅．
综①②得满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围为：（1，

5

3

）．