Question

18．已知函数f（x）=asinx+（2-b）cosx（a＞0，b＞0）关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为2．

Answer 1

分析 由题意可得f（0）=f（$\frac{π}{2}$），即 a+b=2，再根据$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{2b}$，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=asinx+（2-b）cosx（a＞0，b＞0）关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，
∴f（0）=f（$\frac{π}{2}$），即 2-b=a，即 a+b=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{2b}$≥1+$\sqrt{\frac{a}{2b}•\frac{b}{2a}}$=2，当且仅当a=b=1时，取等号，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题主要正弦函数的图象的对称性的性质，基本不等式的应用，属于基础题．