题目内容
【题目】已知函数f(x)=+aln x(a≠0,a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;
(2)若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)x=1时,f(x)有极小值为1;y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)a∈∪(e,+∞).
【解析】试题分析:(1)求函数 的导数,令导数等于零,解方程,再求出函数
的导数和驻点,然后列表讨论,求函数
的单调区间和极值;
(2)若在区间 上存在一点
,使得
成立,其充要条件是
在区间
上的最小值小于0即可.利用导数研究函数在闭区
上的最小值,先求出导函数
,然后讨论研究函数在
上的单调性,将的
各极值与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值.
试题解析:
(1)当a=1时,f′(x)=-+
=
.
令f′(x)=0,得x=1,
又y=f(x)的定义域为(0,+∞),
由f′(x)<0,得0<x<1;由f′(x)>0,得x>1.
所以x=1时,f(x)有极小值为1.
y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)f′(x)=-+
=
,且a≠0.
令f′(x)=0,得x=.
若在区间(0,e]上存在一点x0,使得f(x0)<0成立,
即y=f(x)在区间(0,e]上的最小值小于0.
当a<0时,f′(x)<0对x∈(0,e]恒成立,即y=f(x)在区间(0,e]上单调递减,
故y=f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=+aln e=
+a,由
+a<0,得a<-
,即a∈
.
当a>0时,
①若e≤,即0<a≤
,则f′(x)≤0对x∈(0,e]恒成立,
所以y=f(x)在区间(0,e]上单调递减,
则y=f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=+aln e=
+a>0,显然,y=f(x)在区间(0,e]上的最小值小于0不成立.
②若0<<e,即a>
,则有
x | |||
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | ↓ | 极小值 | ↓ |
所以f(x)在区间(0,e]上的最小值为f=a+aln
,
由f=a+aln
=a(1-ln a)<0,得
1-ln a<0,解得a>e,即a∈(e,+∞).
综上可知,a∈∪(e,+∞).
