题目内容
【题目】设函数f(x)=ax2-lnx。
(Ⅰ)当a=时,判断f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤x3+4x-lnx,在定义域内恒成立,求a的取值范围。
【答案】(1)f(x)在0<x≤1上,函数为减函数;在x>1上,函数为增函数;(2)a≤4.
【解析】试题分析:(1)将条件带入求导,得=x-
,进而根据导数的正负可得函数的单调性;
(2)令H(x)= f(x)-(x3+4x-lnx)= -x3+x2-4x=x(-x2+ax-4)所以要使f(x)≤x3+4x-lnx,在定义域内恒成立,只需H(x)≤0,在定义域内恒成立,即x(-x2+ax-4) ≤0在x>0上恒成立,进而转化为-x2+ax-4≤0在x>0上恒成立,进而可得解.
试题解析:
(1)、当a=时,f(x)=
x2-lnx,
=x-
令导函数等于0,解得x=1或x=-1(舍),
所以当>0时,x>1,当
<0,0<x<1
所以f(x)在0<x≤1上,函数为减函数;在x>1上,函数为增函数。
(2)令H(x)= f(x)-(x3+4x-lnx)= -x3+x2-4x=x(-x2+ax-4)
所以要使f(x)≤x3+4x-lnx,在定义域内恒成立,只需H(x)≤0,在定义域内恒成立,
即x(-x2+ax-4) ≤0在x>0上恒成立。
由于x>0,所以只要-x2+ax-4≤0在x>0上恒成立
所以应满足△≤0或者,所以a≤4.

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