题目内容
【题目】某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：
组号 | 第一组 | 第二组 | 第二组 | 第四组 |
分组 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
频数 | 6 | 4 | 22 | 20 |
频率 | 0.06 | 0.04 | 0.22 | 0.20 |
组号 | 第五组 | 第六组 | 第七组 | 第八组 |
分组 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
频数 | 18 | a | 10 | 5 |
频率 | b | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
（1）若频数的总和为c，试求a，b，c的值；
（2）为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）估计该校本次考试的数学平均分．
【答案】
（1）解：因为频率和为1，所以b=0.18，
又因为频率= 
，所以c=100，a=15．
（2）解：第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，则每个学生被抽中的概率均为 
．
所以从第七组中抽取的样本数为 ×10=2．
所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2．
P（ξ=0）= 
= 
，
P（ξ=1）= 
= 
，
P（ξ=2）= 
= 
．
∴随机变量ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 |
P | | | |
所以E（ξ）=0× +1× +2× = 
．
（3）解：根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为：
75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110．
【解析】（1）由频率= ，能求出a，b，c的值．（2）第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，则每个学生被抽中的概率均为 ．从第七组中抽取的样本数为 ×10=2．从而随机变量ξ的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和E（ξ）．（3）根据频率分布表能估计该校本次考试的数学平均分．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平均数、中位数、众数的相关知识，掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据，以及对离散型随机变量及其分布列的理解，了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．
