题目内容
【题目】某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和
,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:
(1)两种大树各成活1株的概率;
(2)成活的株数ξ的分布列与期望.
【答案】(1)(2)分布列见解析,
【解析】试题分析:(1)甲两株中活一株符合独立重复试验,概率为 ,同理可算乙两株中活一株的概率,两值相乘即可.
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,分别求其概率,列出分布列,再求期望即可.
试题解析:解:设Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2
Bl表示乙种大树成活1株,1=0,1,2
则Ak,Bl独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P(Ak)=C2k()k(
)2-k,P(Bl)=C21(
)l(
)2-l.
据此算得P(A0)=,P(A1)=
,P(A2)=
.
P(B0)=,P(B1)=
,P(B2)=
.
(1)所求概率为P(A1B1)=P(A1)P(B1)=×
=
.
(2)解法一:ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,且
P(ξ=0)=P(A0B0)=P(A0)P(B0)=×
=
,
P(ξ=1)=P(A0B1)+P(A1B0)=×
+
×
=
,
P(ξ=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=×
+
×
+
×
=
,
P(ξ=3)=P(A1B2)+P(A2B1)=×
+
×
=
.
P(ξ=4)=P(A2B2)=×
=
.
综上知ξ有分布列
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
从而,ξ的期望为
Eξ=0×+1×
+2×
+3×
+4×
=
(株).
解法二:分布列的求法同上,令ξ1,ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数,则
ξ1:B(2,),ξ2:B(2,
)
故有Eξ1=2×=
,Eξ2=2×
=1
从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=.
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