Question

【题目】已知函数，且.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：函数有且只有一个零点.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）通过导函数当和时的正负来确定原函数的增减区间；

(2) 通过证明函数单调并且猜出函数的一个根，从而证明函数有且只有一个零点.

试题解析：

（1），，

当时，，则在上单调递增；

当时，由得，由得，

即在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）证明：由已知得，则，

设，则 ，

故为上的增函数，

又由于，因此且有唯一零点1，

当时，；当时，.

在上为减函数，在上为增函数，

函数有且只有一个零点.

点晴:本题主要考查导数在解决函数中的应用. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为含参不等式的求解问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)函数有且只有一个零点通常是证明函数单调并且猜出函数的一个根，从而证明函数有且只有一个零点.