Question

【题目】已知函数的最小值为，其中.

(1)求的值；

(2)若对任意的，有成立，求实数的范围；

(3)证明：

Answer 1

【答案】(1)a=1；(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析; （1）对 进行求导，已知最小值为0，可得极小值也为0，得 ，从而求出的值；
（2）由题意任意的 ，有 成立，可以令 求出 的最大值小于0即可，可以利用导数研究的最值；

(3)由(2)知：令得：

令得: ＜ ,累加即可的证

试题解析;(1)函数的定义域为.

由得： ＞ 又由得：

∴在单调递减，在单调递增

∴

(2)设 ，则在恒成立 (*)

注意到

＞0 ……5分

又

①当＜0 ＜)时，由得.

∵在单减， 单增，这与(*)式矛盾；

②当时

∵在恒成立 ∴符合(*)

∴

(3)由(2)知：令得：

令得: ＜

当i=1时， ＜2；

当时， ＜

从而＜＜2.