题目内容
【题目】已知函数,
,
,
.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在最大值
,
存在最小值
,且
,求证:
.
【答案】(1)在
递增,在
递减.(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)当求出函数的导数,解关于导函数的不等式,可求出函数的单调区间即可;;(2)求出的导数,构造函数
求出
的表达式,构造函数
,根据函数的单调性证出结论.
试题解析:
(1)由题意知, ,
,
时,
,
在
递减,
时,令
,令
,
∴在
递增,在
递减.
(2)证明: ,
时,
恒成立,
在
递增,无最小值,
由(1)知,此时无最大值,故
.
令,则
,
∵,
,
故存在唯一,使得
,即
,
列表如下:
由(1)得:
,
,
由题意,即
,将
代入上式有:
化简得: (*)
构造函数,
,
显然单调递增,且
,
,
则存在唯一,使得
.
且时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
又,故
只会在
有解,
而
故(*)的解是,则
.
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