Question

7．已知过点A（0，2）的直线m与圆O：x²+y²=2相交于P、Q两点．
（1）OP⊥OQ时，求直线m的方程；
（2）若AP=PQ，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线m的方程为y=kx+2代入圆x²+y²=2，利用韦达定理，结合x₁x₂+y₁y₂ =0，求直线m的方程；
（2）若AP=PQ，则2x₁=x₂，利用x₁x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，求出k，即可求直线m的方程．

解答 解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
设直线m的方程为y=kx+2代入圆x²+y²=2，得x²+（kx+2）²=2，即（1+k²）x²+4kx+2=0，
解得x₁x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，则y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂ =0，
∴$\frac{2}{1+{k}^{2}}$+$\frac{4-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=0，
∴k=±$\sqrt{3}$，
∴直线m的方程为y=±$\sqrt{3}$x+2；
（2）若AP=PQ，则2x₁=x₂，
∵x₁x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
∴2x₁²=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，3x₁=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴直线m的方程是y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x+2．

点评 本题考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．