Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，设圆与圆的公共弦所在直线为.

（1）求直线的极坐标方程；

（2）若以坐标原点为中心，直线顺时针方向旋转后与圆、圆分别在第一象限交于、两点，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）将圆的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；把两个圆的方程联立，即可得其公共弦所在直线方程，进而得其极坐标方程.

（2）将圆的标准方程化为极坐标方程，将直线旋转后可得其角度，分别代入、的极坐标方程，即可由极坐标的几何意义求得.

（1）圆的参数方程为（为参数），

则圆的普通方程为，

圆的极坐标方程为，

等式两边同时乘以可得，即，化为直角坐标方程为，

圆与圆的公共弦所在直线为，则，

化简可得，

所以直线的极坐标方程为

（2）以坐标原点为中心，直线顺时针方向旋转后与圆、圆分别在第一象限交于、两点，

则直线的极坐标方程为，

将圆的标准方程化为极坐标方程为，

设，

则