题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
，
平面
，底面
为正方形，且
.若四棱锥的每个顶点都在球
的球面上，则球的表面积的最小值为_____；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角
的正切值为_______.
【答案】
【解析】
(1)．要求球
的表面积的最小值，需求出球的表面积的算式，为此又需求出球的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值．
(2)．列出四棱锥
的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角
的正切值．
(1)．设
，则
.∵
平面
，
∴
，又
，
∴
平面
，
则四棱锥可补形成一个长方体，球的球心为
的中点，
从而球的表面积为
.
(2)．四棱锥的体积
，
则
，当
时，
；当
时，
.
故
，此时
，
.
过
作
于
，连接
，
则
为二面角的平面角.
∵
，∴
.
【题目】在
年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，
、
两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是
、
、
，队队员是
、
、
，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得
分，负队得
分，设队、队最后所得总分分别为
、
且
.
对阵队员 |
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|
（1）求队得分为分的概率；
（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强.
【题目】某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45．
样本频率分布表：
分组 | 频数 | 频率 |
[41，51） | 2 | |
[51，61） | 1 | |
[61，71） | 4 | |
[71，81） | 6 | |
[81，91） | 10 | |
[91，101） | ||
[101，111） | 2 |
（1） 完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
