题目内容
【题目】已知函数
(1)判断函数的单调性;
(2)若函数有极大值点
,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2)证明见解析
【解析】
(1)对求导,得到
,然后判断
的根的情况,得到
的正负,然后得到
的单调性;(2)由(1)可得
,且
,由
得
,所以只需证
,令
,
,利用导数研究出
的单调性和最值,结合
,得到
时,
,从而得以证明.
(1)由题意,知,对于方程
,
,
①当时,
,
,
在
上单调递增.
②当时,令
,则
,
,
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减,
当时,
,函数
单调递增.
综上所述,当时,
在
上单调递增;
当时,
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由(1)可知当时,在
处时,函数
取得极大值,
所以函数的极大值点为
,则
.
由得
,
要证,
只需证,
只需证,
即,
令,
,
则,
令,
,
则,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减,
,
所以,
在
上单调递减,又
,
故时,
,
又,则
,
从而可证明.
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