题目内容
【题目】设函数,
,其中a,
.
(1)求的单调区间;
(2)若存在极值点
,且
,其中
,求证:
;
(3)设,函数
,求证:
在区间
上的最大值不小于
.
【答案】(1)的增区间为
,
,减区间为
;(2)证明见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)求出的导数,讨论
时
,
在R上递增;当
时,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间;
(2)由条件判断出,且
,由
求出
,分别代入解析式化简
,
,化简整理后可得证;
(3)设在区间
上的最大值M,根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论,运用
单调性和前两问的结论,求出
在区间上的取值范围,利用a的范围化简整理后求出M,再利用不等式的性质证明结论成立.
(1)若,则
,
分两种情况讨论:
①、当时,有
恒成立,此时
的单调递增区间为
;
②、当时,令
,解得
或
,
当或
时,
,
为增函数,
当时,
,
为减函数,
故的增区间为
,
,减区间为
;
(2)若存在极值点
,则必有
,且
,
由题意可得,,则
,
进而,
又,
由题意及(1)可得:存在唯一的实数,满足
,其中
,
则有,故有
;
(3)设在区间
上的最大值M,
表示x、y两个数的最大值,
下面分三种情况讨论:
①当时,
,
由(1)知在区间
上单调递减,
所以在区间
上的取值范围是
,
因此
,所以
。
②当时,
,
由(1)、(2)知,,
,
所以在区间
上的取值范围是
,
因此
,
③当时,
,
由(1)、(2)知,,
,
所以在区间
上的取值范围是
,
因此
,
综上所述,当时,
在区间
上的最大值不小于
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情传播,做好重点人群的预防工作,某地区共统计返乡人员人,其中
岁及以上的共有
人.这
人中确诊的有
名,其中
岁以下的人占
.
确诊患新冠肺炎 | 未确诊患新冠肺炎 | 合计 | |
50岁及以上 | 40 | ||
50岁以下 | |||
合计 | 10 | 100 |
(1)试估计岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率;
(2)请将下面的列联表补充完整,并判断是否有%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关;
参考表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.
【题目】2018年3月5日上午,李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,对购置的新能源汽车免征车辆购置税.新能源汽车销售的春天来了!从衡阳地区某品牌新能源汽车销售公司了解到,为了帮助品牌迅速占领市场,他们采取了保证公司正常运营的前提下实行薄利多销的营销策略(即销售单价随日销量(台)变化而有所变化),该公司的日盈利
(万元),经过一段时间的销售得到
,
的一组统计数据如下表:
日销量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
日盈利 | 6 | 13 | 17 | 20 | 22 |
将上述数据制成散点图如图所示:
(1)根据散点图判断与
中,哪个模型更适合刻画
,
之间的关系?并从函数增长趋势方面给出简单的理由;
(2)根据你的判断及下面的数据和公式,求出关于
的回归方程,并预测当日销量
时,日盈利是多少?
参考公式及数据:线性回归方程,其中
,
;
,
,
,
.
【题目】如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温()的数据一览表.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
最高温 | 5 | 9 | 9 | 11 | 17 | 24 | 27 | 30 | 31 | 21 |
最低温 |
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据这一览表,则下列结论错误的是( )
A.最低温与最高位为正相关
B.每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大
【题目】中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中寸表示115寸
分(1寸=10分).
节气 | 冬至 | 小寒 (大雪) | 大寒 (小雪) | 立春 (立冬) | 雨水 (霜降) | 惊蛰 (寒露) | 春分 (秋分) | 清明 (白露) | 谷雨 (处暑) | 立夏 (立秋) | 小满 (大暑) | 芒种 (小暑) | 夏至 |
晷影长 (寸 | 135 | 75.5 | 16.0 |
已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为( )
A.91.6寸B.82.0寸C.81.4寸D.72.4寸