题目内容

如图，在面积为18的△ABC中，AB=5，双曲线E过点A，


 
且以B、C为焦点，已知

（Ⅰ）建立适当的坐标系，求双曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在过点D（1，1）的直线l，
使l与双曲线E交于不同的两点M、N，且
如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.
（Ⅰ）（Ⅱ）不存在满足条件的直线l.
（Ⅰ）以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，线段BC的中垂线为y轴建立坐标系如图. 设  2分
则 两式平方相加，得m="9.  " ………2分
又两式平方相加，得   2分
设双曲线的方程为    由双曲线的定义，
有2a=||AC|－|AB||=|m－5|=4，即a="2.   " 又2c=，即
∴b2=c2－a2="9.    " ∴双曲线E的方程为 ……2分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同两点M、N，
并设 由知点D是线段MN的中点，
∴ …………1分   由于点M、N都在双曲线E上，
∴.   将两式相减，得
此时直线l的方程为 ……3分
但由∴不存在满足条件的直线l. …2分
练习册系列答案
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（本小题满分14分）已知椭圆，它的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的左焦点为，左准线为，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹的方程；⑶将曲线向右平移2个单位得到曲线,设曲线的准线为，焦点为，过作直线交曲线于两点，过点作平行于曲线的对称轴的直线，若，试证明三点（为坐标原点）在同一条直线上．
方程所表示的曲线是 （ ）
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在 y轴上的双曲线
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，点P(－1,1)为圆O上一点．曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，点F为其右焦点．

过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：直线PQ与圆O相切．
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根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．
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，求的取值范围.
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（1）若P是圆M上的任意一点，求证：是定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若|OQ|=，求椭圆的方程．
在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-
3
，0），（
3
，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
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1
2
，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．
已知椭圆C：x2+
y2
m
=1的焦点在y轴上，且离心率为
3
2
．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足
OA
+
OB
=λ
OP
（O为坐标原点），当|
PA
|-|
PB
|＜
3
时，求实数λ的取值范围．

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