题目内容

已知,点满足,记点的轨迹为.
(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)若直线过点且与轨迹交于两点. (i)设点,问:是否存在实数,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.(ii)过作直线的垂线,垂足分别为,记
,求的取值范围.
(Ⅰ)
(Ⅰ)由知,点的轨迹是以为焦点的双曲线右支,由,∴,故轨迹E的方程为…………3分
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l方程为,与双曲线方程联立消,设
,   解得 ……………5分


 
(i)∵

   
……………………7分
假设存在实数,使得
故得对任意的恒成立,
,解得   ∴当时,.
当直线l的斜率不存在时,由知结论也成立,
综上,存在,使得. …………………………………………8分
(ii)∵,∴直线是双曲线的右准线,…………………………9分
由双曲线定义得:
方法一:∴
 …………………………………………10分
,∴,∴………………………………………11分
注意到直线的斜率不存在时,,综上, …………………12分


 
   方法二:设直线的倾斜角为,由于直线

与双曲线右支有二个交点,∴,过
,垂足为,则,          
 …(10分)
,得 故: …(12分)
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