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(本小题满分12分)
如图所示,在正方体
中,E是棱
的中点.
(Ⅰ)求直线BE与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅱ)在棱
上是否存在一点F,使
平面
?证明你的结论.
试题答案
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解法1:设正方体的棱长为1.如图所示,以
为单位正交基底建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)依题意,
得
,
所以
.
在正方体
中,因为
,所以
是平面
的一个法向量,设直线BE和平面
所成
的角为
,则
.
即直线BE和平面
所成的角的正弦值为
.
设F是棱
上的点,则
.又
,所以
.而
,于是
为
的中点,这说明在棱
上存在点F(
的中点),使
.
解法2:(Ⅰ)如图(a)所示,取
的中点M,连结EM,BM.因为E是
的中点,四边形
为正方形,所以EM∥AD.
即直线BE和平面
所成的角的正弦值为
.
(Ⅱ)在棱
上存在点F,使
.
事实上,如图(b)所示,分别取
和CD的中点F,G,连结
.因
,且
,所以四边形
是平行四边形,因此
.又E,G分别为
,CD的中点,所以
,从而
.这说明
,B,G,E共面,所以
.
因四边形
与
皆为正方形,F,G分别为
和CD的中点,所以
,且
,因此四边形
是平行四边形,所以
.而
,
,故
.
略
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已知平面
平面
,直线
平面
,点
直线
,平面
与平面
间的距离
为8,则在平面
内到点
的距离为10,且到直线
的距离为9的点的轨迹是 ( )
A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点
第Ⅱ卷
(12分)
如图,正方形ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是AB,AD,AA1的中点,
(1)求证AC1⊥平面EFG,
(2)求异面直线EF与CC1所成的角。
(本
小题满分14分)
如右图所示,四棱锥
中,底面
为正方形,
平面
,
,
,
,
分别为
、
、
的中点.(1)求证:
;
(2)求二面角
D
-
FG
-
E
的余弦值.
如图,点
P
是边长为1的菱形
ABCD
外一点,
,
E
是
C
D的中点,
(1)证明:平面
平面PAB;
(2)求二面角
A
—
BE
—
P
的大小。
如图,
中
,
平面
,此图形中有 个直角三角形.
(本小题满分10分)
已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是A
1
B
1
,B
1
C
1
的中点。求证:EF∥平面AD
1
C.
(本小题满分12分)如图,已知
平面
,
平面
,
为
等边三角形,
,
为
中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:平面
平面
;
(3)求直线
与平面
所成角
的正弦值.
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