题目内容

【题目】已知函数 ( m 为常数).

(Ⅰ)若曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线斜率为 1 ,求实数 m 的值.

(Ⅱ)求函数 f x 的极值.

(Ⅲ)证明:当 x 0 时,

【答案】(1)m = 2 (2)f (x)的极小值为,无极大值;(3)证明见解析.

【解析】

(Ⅰ)求出f′(x)=ex﹣m,(m∈R),f′(0)=1﹣m,利用导数的几何意义能求出m;(Ⅱ)由f′(x)=ex﹣m,(m∈R),函数f(x)定义域为(﹣∞,+∞),利用导数性质能求出f(x)的极值;(Ⅲ)设函数g(x)=ex﹣x2,则g′(x)=ex﹣2x,当m=2时,g′(x)=f(x)≥f(ln2),由g′(x)>0恒成立,能证明ex>x2

(Ⅰ)∵函数f(x)=ex﹣mx(m为常数),

∴f′(x)=ex﹣m,(m∈R),∴f′(0)=1﹣m,

∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))的切线斜率为﹣1,

∴f′(0)=1﹣m=﹣1,

解得m=2.

(Ⅱ)∵f′(x)=ex﹣m,(m∈R),

函数f(x)定义域为(﹣∞,+∞),

m≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,

此时没有极值;

m>0时,令f′(x)=0,解得x=lnm,

则随着x的变化,f′(x),f(x)变化如下表:

x

(﹣∞,lnm)

lnm

(lnm,+∞)

f′(x)

0

+

f(x)

极小值

由上表知函数f(x)在(lnm,+∞)上单调递增,在(﹣∞,lnm)上单调递减,

则在x=lnm处取得极小值f(lnm)=elnm﹣mlnm=m(1﹣lnm),

无极大值.

证明:(Ⅲ)设函数g(x)=ex﹣x2

g′(x)=ex﹣2x,

由(Ⅱ)知m=2时,g′(x)=f(x)≥f(ln2),

∵f(ln2)=2(1﹣ln2)>0,∴g′(x)>0恒成立,

即函数g(x)在R上递增,

∵g(0)=1,∴当x>0时,g(x)>g(0)>0,

∴ex>x2

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