题目内容
【题目】如图，在正三棱柱
中，
，P是
的中点．
（1）求平面
将三棱柱分成的两部分的体积之比；
（2）求平面与平面ABC所成二面角的正切值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）设
，分别求出
，
，即可得体积比；
（2）取
的中点
，连接
，通过
及，可得
面
，根据计算可得
，不妨设
，则
，由题可得
在面
上的投影为
，设平面
与平面ABC所成二面角的大小为
，求出
，
，可得
，进而可得正切值.
解：（1）设，
则
，
，
则平面将三棱柱分成的两部分的体积之比为；
（2）如图：取的中点，连接，
由已知得面
面
，又
，
则
面，又
面，
，又，且
，
则面，
，则
，
，
，
，
不妨设，则，
则
，
，
则
，
，
由题可得在面上的投影为，
设平面与平面ABC所成二面角的大小为，
则
，
所以平面与平面ABC所成二面角的正切值为.
【题目】随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从
到
）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到
），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
，试证明
是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程
中，
.
