题目内容
2．
从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：| 组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
| 1 | [5，6） | 2 | 0.04 |
| 2 | [6，7） | 0.20 | |
| 3 | [7，8） | a | |
| 4 | [8，9） | b | |
| 5[来源：Zxxk．Com] | [9，10） | 0.16 |
（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
分析 （I）根据频率=$\frac{频数}{样本容量}$，求出n的值；
（II）根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制频率分布直方图；
（III）根据平均数的定义，列出方程组，求出a、b的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
解答 解：（I）∵小组[5，6）内的频数是2，对应的频率是0.04，
∴样本容量为n=$\frac{2}{0.04}=50$；（1分）
（II）小组[6，7）内的频数为50×0.20=10，
小组[7，8）内的频率为$\frac{10}{50}$=0.20，
小组[8，9）内的频数为50-2-10-10-8=20，
频率为$\frac{20}{50}$=0.40，
小组[9，10）内的频数为50×0.16=8，
由此补全数据见下表（3分）；
| 组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
| 1 | [5，6） | 2 | 0.04 |
| 2 | [6，7） | 10 | 0.20 |
| 3 | [7，8） | 10 | 0.20 |
| 4 | [8，9） | 20 | 0.40 |
| 5 | [9，10） | 8 | 0.16 |
（III）根据题意，得
$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{50}（2×5.5+10×6.5+a×7.5+b×8.5+8×9.5）=7.84\\ 2+10+a+b+8=50\end{array}\right.$，（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=15\\ b=15\end{array}\right.$；（8分）
设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，
则P（A）=$\frac{15+8}{50}=\frac{23}{50}=0.46$．（9分）
点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目．
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（Ⅰ）根据以上数据完成下列2×2列联表：
（Ⅱ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为主修统计专业与性别有关系？
参考数据：附：X2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$
当X2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当X2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当X2＞3.814时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当X2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
（Ⅰ）根据以上数据完成下列2×2列联表：
| 专业 性别 | 非统计专业 | 统计专业 | 总计 |
| 男 | |||
| 女 | |||
| 总计 |
参考数据：附：X2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$
当X2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当X2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当X2＞3.814时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当X2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
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