题目内容

14.如果一个实数数列{an}满足条件:$a_{n+1}^2-{a_n}=d$(d为常数,n∈N*),则称这一数列“伪等差数列”,d称为“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论:①对于任意的首项a1,若d<0,则这一数列必为有穷数列;②当d>0,a1>0时,这一数列必为单调递增数列;③这一数列可以是一个周期数列;④若这一数列的首项为1,伪公差为3,$-\sqrt{5}$可以是这一数列中的一项;n∈N*⑤若这一数列的首项为0,第三项为-1,则这一数列的伪公差可以是$\frac{{\sqrt{5}-3}}{2}$.其中正确的结论是③④.

分析 通过取a1=$\frac{1}{2}$、d=-$\frac{1}{4}$、an>0易知①不正确;通过an+1=±$\sqrt{{a}_{n}+d}$可知②不正确;不妨取伪公差d=0即得这一数列是周期数列故③正确;通过代入计算可知④正确;通过首项及平方≥0即得⑤不正确.

解答 解:①当a1=$\frac{1}{2}$、d=-$\frac{1}{4}$、an>0时,
依题意,an=$\frac{1}{2}$,故不正确;
②当d>0,a1>0时,
∵an+1=±$\sqrt{{a}_{n}+d}$,
∴这一数列不是单调递增数列,故不正确;
③易知当伪公差d=0、an=1时,这一数列是周期数列,故正确;
④∵a1=1,d=3,
∴a2=±$\sqrt{{a}_{1}+d}$=±2,
∴当a2=2时a3=±$\sqrt{{a}_{2}+d}$$±\sqrt{5}$,故正确;
⑤∵a1=0,a3=-1,
∴${{a}_{2}}^{2}$=a1+d=d,
∴d≥0,
而$\frac{{\sqrt{5}-3}}{2}$<0,故不正确;
综上所述:③④正确,①②⑤不正确,
故答案为:③④.

点评 本题考查考查数列的性质,注意解题方法的积累,属于中档题.

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