题目内容
【题目】已知(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若有两个零点
,求
的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求证: .
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)(1);(2) 见解析.
【解析】试题分析:(I)求出函数的导数,通过讨论的范围,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(II)(1)由(Ⅰ)知,当
时,
在R上为增函数,
不合题意;当
时,
的递增区间为
,递减区间为
,只需
,即可解得
的取值范围;(2)分离参数
,问题转化为证明证明
,不妨设
,记
,则
,因此只要证明:
,即
根据函数的单调性证明即可.
试题解析:(Ⅰ) 的定义域为R,
,(1)当
时,
在R上恒成立,∴
在R上为增函数; (2)当
时,令
得
,令
得
,∴
的递增区间为
,递减区间为
;
(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当时,
在R上为增函数,
不合题意;
当时,
的递增区间为
,递减区间为
,
又,当
时,
,∴
有两个零点
,则
,解得
;
(2)由(Ⅱ)(1),当时,
有两个零点
,且
在
上递增, 在
上递减,依题意,
,不妨设
.
要证,即证
,
又,所以
,
而在
上递减,即证
,
又,即证
,(
).
构造函数,
,∴
在
单调递增,
∴,从而
,
∴,(
),命题成立.
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