题目内容
【题目】已知椭圆
(a>b>0)的离心率为
.
(Ⅰ)若原点到直线x＋y－b＝0的距离为
，求椭圆的方程；
(Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆上任意一点M，总存在实数λ、μ，使等式
成立，求λ2＋μ2的值．
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ)λ2＋μ2＝1
【解析】试题分析：（1）由点到直线的距离公式与
，可得a,b,c及椭圆方程。（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，设直线方程为y＝x－c，直线与椭圆方程组方程组得到A,B点坐标的韦达定理，由等式
，可得M(
),把A，B,M三点坐标代入椭圆方程，及韦达可得λ2＋μ2＝1.
试题解析：(Ⅰ)∵d＝
＝
，∴b＝2.
又∵e＝
＝
，∴e2＝
，
∴b2＝a2－c2＝
a2＝4，得a2＝12，b2＝4.
∴椭圆的方程为
.
(Ⅱ)∵e＝
＝
，∵a2＝b2＋c2，
∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c，
联立
4x2－6cx＋3c2－3b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
c，x1x2＝
＝
c2，
显然
与
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
，有且只有一对实数λ，μ，使得等式
成立．
设M(x，y)，则由
得
,
代入椭圆方程整理得λ2
＋μ2
＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵
＝3b2， 
＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝
c2－
c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1.
【题目】某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间，对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 | 分组 | 人数(单位：人) |
第一组 | [20,25) | 2 |
第二组 | [25,30) | a |
第三组 | [30,35) | 5 |
第四组 | [35,40) | 4 |
第五组 | [40,45) | 3 |
第六组 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并画出频率分布直方图；
(Ⅱ)在统计表的第五与第六组的5人中，随机选取2人，求这2人的年龄都小于45岁的概率．
