题目内容

9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3$\sqrt{15}$,b-c=2,cosA=-$\frac{1}{4}$,则a的值为8.

分析 由cosA=-$\frac{1}{4}$,A∈(0,π),可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$.利用S△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$3\sqrt{15}$,化为bc=24,又b-c=2,解得b,c.由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA即可得出.

解答 解:∵A∈(0,π),∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$bc=$3\sqrt{15}$,化为bc=24,
又b-c=2,解得b=6,c=4.
由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA=36+16-48×$(-\frac{1}{4})$=64.
解得a=8.
故答案为:8.

点评 本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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