Question

20．设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的公比为q，已知b₁=a₁，b₂=2，q=d，S₁₀=100．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）当d＞1时，记c_n=$\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知c_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，写出T_n、$\frac{1}{2}$T_n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．

解答 解：（1）设a₁=a，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{10a+45d=100}\\{ad=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{d=\frac{2}{9}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{d=2}\end{array}\right.$时，a_n=2n-1，b_n=2^n-1；
当$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{d=\frac{2}{9}}\end{array}\right.$时，a_n=$\frac{1}{9}$（2n+79），b_n=9•$（\frac{2}{9}）^{n-1}$；
（2）当d＞1时，由（1）知a_n=2n-1，b_n=2^n-1，
∴c_n=$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+9•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+7•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=2+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．