Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求tanx的值；
（2）若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；
（2）若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（sinx，cosx）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=0，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx
sinx=cosx，即tanx=1；
（2）∵|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{sin^2x+cos^2x}$=1，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（sinx，cosx）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx，
∴若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=$\frac{1}{2}$，
则sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）．
则x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$
即x=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．