题目内容
如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=
AB，E是SA的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．
| 2 |
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．
（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD
∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD，
∵DE?平面SAD
∴DE⊥AB．…（3分）
∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）
（2）
作AF⊥BE，垂足为F．
由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．…（8分）
设AD=2a，则AB=
a，SA=2
a，AE=
a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF=
=
，∴∠AEF=45°
故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…（12分）
∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD，
∵DE?平面SAD
∴DE⊥AB．…（3分）
∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）
（2）
作AF⊥BE，垂足为F．
由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．…（8分）
设AD=2a，则AB=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
在Rt△AFE中，sin∠AEF=
| AF |
| AE |
| ||
| 2 |
故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…（12分）
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