Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
1）求证：BC₁∥面A₁DC；
2）求棱AA₁的长，使得A₁C与面ABC₁所成角的正弦值等于

2

15

30

．

Answer 1

（1）连接AC₁与A₁C交于点E，则E为AC₁的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC₁，
而DE?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，则有BC₁∥面A₁DC；
（2）建立坐标系A（1，0，0）B（0，1，0）C₁（0，0，a）
求得平面ABC₁的发向量

n

=(1，1，

1

a

)
sinα=

|A1C • n |

|A1C || a |

=

2

15

30

求得a=

1

2

或

2

∴棱AA₁的长为

1

2

或

2