Question

2．已知tan（α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{tan（\frac{π}{4}-α）}$=4．
（1）求tan2α的值；
（2）若α是三角形内角，求sin（α+$\frac{π}{12}$）的大小．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的三角公式求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得sin$\frac{π}{12}$、cos$\frac{π}{12}$ 的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：（1）tan（α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{tan（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$+$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=4，∴$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=2，∴tanα=$\frac{1}{3}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{3}{4}$．
（2）若α是三角形内角，由tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{3}$，sin²α+cos²α=1，可得sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又 sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，cos$\frac{π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{12}$）=sinαcos$\frac{π}{12}$+cosαsin$\frac{π}{12}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，二倍角的正切公式，属于基础题．