Question

13．证明：对任意实数a，b有（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{a^2+b^2}{2}$．

Answer 1

分析 运用作差比较法，结合完全平方公式和非负数概念，即可得证．

解答 证明：（作差比较法）
由于$\frac{a^2+b^2}{2}$-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{2{a}^{2}+2{b}^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}$
=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab}{4}$=$\frac{1}{4}$（a-b）²≥0，
当且仅当a=b，取得等号．
则有对任意实数a，b有（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{a^2+b^2}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差比较法的运用，这是最基本的证明方法，必须掌握．