Question

2．如图所示，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
①二面角A₁-AB-D的大小为$\frac{π}{2}$；
②二面角D₁-AB-D的大小为$\frac{π}{4}$；
③二面角D₁-BC-D的大小为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 ①由AA₁⊥AB，AD⊥AB，得∠A₁AD是二面角A₁-AB-D的平面角，由此能求出二面角A₁-AB-D的大小．
②由AD₁⊥AB，AD⊥AB，得∠D₁AD是二面角A₁-AB-D的平面角，由此能求出二面角D₁-AB-D的大小．
③由D₁C⊥BC，DC⊥BC，得∠D₁CD是二面角D₁-BC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-BC-D的大小．

解答 解：①∵在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥AB，AD⊥AB，
∴∠A₁AD是二面角A₁-AB-D的平面角，
∵AA₁⊥AD，∴∠A₁AD=$\frac{π}{2}$，
∴二面角A₁-AB-D的大小为$\frac{π}{2}$．
②∵在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁⊥AB，AD⊥AB，
∴∠D₁AD是二面角A₁-AB-D的平面角，
∵AD⊥AD₁，AD=DD₁，
∴∠D₁AD=$\frac{π}{4}$，
∴二面角D₁-AB-D的大小为$\frac{π}{4}$．
③∵在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁C⊥BC，DC⊥BC，
∴∠D₁CD是二面角D₁-BC-D的平面角，
∵DD₁⊥DC，DD₁=DC，
∴∠D₁CD=$\frac{π}{4}$，
∴二面角D₁-BC-D的大小为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$；$\frac{π}{4}$；$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．