题目内容

15.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ.直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+2}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.(t为参数)$,曲线C与直线l一个交点的横坐标为3-$\sqrt{7}$.
(Ⅰ)求a的值及曲线C的参数方程;
(Ⅱ)求曲线C与直线l相交所成的弦的弦长.

分析 (Ⅰ)把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程,由曲线C与直线l一个交点的横坐标求出对应的纵坐标,即可求出a的值以及曲线C的普通方程,再化普通方程为参数方程即可;
(Ⅱ)由曲线C表示圆,求出圆心到直线的距离,利用勾股定理求出对应的弦长.

解答 解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程ρ=acosθ可化为ρ2=aρcosθ,
化为一般方程是x2+y2=ax,
直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+2}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.(t为参数)$,
消去参数t,得x-y=2;
又曲线C与直线l一个交点的横坐标为3-$\sqrt{7}$,
∴对应的纵坐标为y=x-2=1-$\sqrt{7}$;
∴a=$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x}$=x+$\frac{{y}^{2}}{x}$=(3-$\sqrt{7}$)+$\frac{{(1-\sqrt{7})}^{2}}{3-\sqrt{7}}$=(3-$\sqrt{7}$)+(5+$\sqrt{7}$)=8;
∴曲线C的一般方程为x2+y2=8x,
即(x-4)2+y2=16;
又设$\frac{x-4}{4}$=cosα,$\frac{y}{4}$=sinα,
∴x=4+4cosα,y=4sinα;
即曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$(α为参数);…(3分)
(Ⅱ)∵曲线C表示圆C,且圆C的圆心为(4,0),
圆心到直线的距离为$d=\sqrt{2}$,
∴所求的弦长为
2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=$2\sqrt{{4^2}-{{({\sqrt{2}})}^2}}=2\sqrt{14}$.(7分)

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题,也考查了参数方程与极坐标方程的应用问题,是综合性题目.

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