题目内容
8．F1、F2分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，若△PF1F2的面积为16，则b=（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|•|PF2|=2b2，结合△PF1F2的面积为16，求得b的值．
解答 解：如图，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，∴PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，
∴m2+n2=4（a2-b2），
∵m+n=2a，则有（m+n）2=m2+n2+2mn，即mn=2b2，
∴|PF1|•|PF2|=2b2．
∴△PF1F2的面积S=$\frac{1}{2}$|PF1|•|PF2|=$\frac{1}{2}$×2b2=16，解得b=4．
故选：D．
点评 本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．
练习册系列答案
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20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=5，S5=20，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和为（ ）
| A． | $\frac{99}{202}$ | B． | $\frac{25}{51}$ | C． | $\frac{100}{101}$ | D． | $\frac{51}{101}$ |
3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
| A． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$] | B． | [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1） | C． | [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1） | D． | [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$] |
13．已知A为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一个动点，直线AB，AC分别过焦点，F1，F2，且与椭圆交于B，C两点，若当AC⊥x轴时，恰好有|AF1|：|AF2|=3：1，则该椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
18．若Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项的和，且$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{2n+1}{4n-2}$（n∈N*），则$\frac{{a}_{10}}{{b}_{3}+{b}_{18}}$+$\frac{{a}_{11}}{{b}_{6}+{b}_{15}}$=（ ）
| A． | $\frac{39}{68}$ | B． | $\frac{41}{68}$ | C． | $\frac{39}{78}$ | D． | $\frac{41}{78}$ |