题目内容
8.F1、F2分别是椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$,若△PF1F2的面积为16,则b=( )A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 设|PF1|=m,|PF2|=n,根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组,平方相减即可求出|PF1|•|PF2|=2b2,结合△PF1F2的面积为16,求得b的值.
解答 解:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$,∴PF1⊥PF2,得∠F1PF2=90°,
∴m2+n2=4(a2-b2),
∵m+n=2a,则有(m+n)2=m2+n2+2mn,即mn=2b2,
∴|PF1|•|PF2|=2b2.
∴△PF1F2的面积S=$\frac{1}{2}$|PF1|•|PF2|=$\frac{1}{2}$×2b2=16,解得b=4.
故选:D.
点评 本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形,求它的面积,着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识.

练习册系列答案
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20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=5,S5=20,则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和为( )
A. | $\frac{99}{202}$ | B. | $\frac{25}{51}$ | C. | $\frac{100}{101}$ | D. | $\frac{51}{101}$ |
3.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. | [$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$] | B. | [$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1) | C. | [$\frac{\sqrt{3}}{3}$,1) | D. | [$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$] |
13.已知A为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)上的一个动点,直线AB,AC分别过焦点,F1,F2,且与椭圆交于B,C两点,若当AC⊥x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1,则该椭圆的离心率为( )
A. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
18.若Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项的和,且$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{2n+1}{4n-2}$(n∈N*),则$\frac{{a}_{10}}{{b}_{3}+{b}_{18}}$+$\frac{{a}_{11}}{{b}_{6}+{b}_{15}}$=( )
A. | $\frac{39}{68}$ | B. | $\frac{41}{68}$ | C. | $\frac{39}{78}$ | D. | $\frac{41}{78}$ |