Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短轴长是2，离心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）点M是椭圆C上异于其顶点的任意一点，点M关于原点的对称点是点N，点P是直线x+y-3=0上的一点，且△PMN是等边三角形，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设M（m，n），则N（-m，-n），设P（s，3-s），由OP⊥MN，|OP|=$\sqrt{3}$|OM|，运用两直线垂直的条件和两点的距离公式，结合点满足椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到直线MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）由短轴长是2，离心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
可得b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又a²-c²=1，解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
即有椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）设M（m，n），则N（-m，-n），
设P（s，3-s），由OP⊥MN，|OP|=$\sqrt{3}$|OM|，
可得k_OP•k_MN=-1，
即有$\frac{3-s}{s}$•$\frac{n}{m}$=-1，$\sqrt{{s}^{2}+（3-s）^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
可得s²=3n²，即有s=$\sqrt{3}$n，s-3=$\sqrt{3}$m
或s=-$\sqrt{3}$n，s-3=-$\sqrt{3}$m，则有n=m+$\sqrt{3}$或n=m-$\sqrt{3}$，
又$\frac{{m}^{2}}{3}$+n²=1，解方程可得m=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有直线MN的斜率为-1，
故直线MN的方程为y=-x．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查两直线垂直的条件和直线的斜率和两点距离公式，属于中档题．