题目内容

16.已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的短轴长是2,离心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)点M是椭圆C上异于其顶点的任意一点,点M关于原点的对称点是点N,点P是直线x+y-3=0上的一点,且△PMN是等边三角形,求直线MN的方程.

分析 (Ⅰ)运用离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)设M(m,n),则N(-m,-n),设P(s,3-s),由OP⊥MN,|OP|=$\sqrt{3}$|OM|,运用两直线垂直的条件和两点的距离公式,结合点满足椭圆方程,解方程可得m,n,进而得到直线MN的方程.

解答 解:(Ⅰ)由短轴长是2,离心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
可得b=1,$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
又a2-c2=1,解得a=$\sqrt{3}$,c=$\sqrt{2}$,
即有椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1;
(Ⅱ)设M(m,n),则N(-m,-n),
设P(s,3-s),由OP⊥MN,|OP|=$\sqrt{3}$|OM|,
可得kOP•kMN=-1,
即有$\frac{3-s}{s}$•$\frac{n}{m}$=-1,$\sqrt{{s}^{2}+(3-s)^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$,
可得s2=3n2,即有s=$\sqrt{3}$n,s-3=$\sqrt{3}$m
或s=-$\sqrt{3}$n,s-3=-$\sqrt{3}$m,则有n=m+$\sqrt{3}$或n=m-$\sqrt{3}$,
又$\frac{{m}^{2}}{3}$+n2=1,解方程可得m=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,或m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
即有直线MN的斜率为-1,
故直线MN的方程为y=-x.

点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,同时考查两直线垂直的条件和直线的斜率和两点距离公式,属于中档题.

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