题目内容
【题目】已知点是圆
:
上任意一点,点
与圆心
关于原点对称.线段
的中垂线与
交于
点.
(1)求动点的轨迹方程
;
(2)设点,若直线
轴且与曲线
交于另一点
,直线
与直线
交于点
,证明:点
恒在曲线
上,并求
面积的最大值.
【答案】(1).(2)见解析.
【解析】试题分析:⑴根据题目条件并结合椭圆定义,即可求得动点的轨迹方程
;
⑵设点坐标为
,则
点的坐标为
,进而表示出直线
与直线
交于点
的坐标,即可证明点
恒在椭圆
上,设直线
:
,
,
,联立直线方程和椭圆方程,化为关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系得到
,代入三角形的面积公式,可得
,利用换元法,即可求得
面积的最大值。
解析:(1)由题意得, 点坐标为
,因为
为
中垂线上的点,所以
,
又,所以
,
由椭圆的定义知, ,
.
所以动点的轨迹方程
:
.
(2)证明:设点坐标为
,则
点的坐标为
,且
,
所以直线:
,即
,
直线:
,即
;
联立方程组,解得
,
,则
.
所以点恒在椭圆
上.
设直线:
,
,
,
则由,消去
整理得
,
所以,
,
所以
,
从而
,
令,则函数
在
上单调递增,
故,所以
,
即当时,
面积取得最大值,且最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别如下图所示。
甲 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 3 | 1 | 2 | 4 |
乙 | 2 | 3 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
从数据上看, ________________机床的性能较好(填“甲”或者“乙”).