Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．

（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；

（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）先证明AB1⊥A1B，AB1⊥A1C1，进而得证结论；

（2）以A1B1，A1C1，A1A为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，求解平面A1BC1的法向量为,利用线面角的向量公式，即得解.

（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，

根据已知条件易得AB1⊥A1B，

由A1C1⊥面ABB1A1，得AB1⊥A1C1，

A1B∩A1C1＝A1，

故AB1⊥平面A1BC1；

（2）以A1B1，A1C1，A1A为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，

设AB＝a，则A（0，0，a），B（a，0，a），，

所以，

设平面A1BC1的法向量为

，令

则，

可计算得到

所以AD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．