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题目内容

11.已知数列{an}中,a1=1,a2 =3,an+2-an+1-2an =0,求数列{an}的通项公式.

分析 通过an+2-an+1-2an =0可知(an+2-2an+1)+(an+1-2an )=0,进而又a222-a12=122a323-a222=123a424-a323=124、…、an2n-an12n1=12n,并项相加即得结论.

解答 解:∵an+2-an+1-2an =0,
∴(an+2-2an+1)+(an+1-2an )=0,
∵a2-2a1=3-2=1=(-1)2
a222-a12=122
∵a3-2a2=-(a2-2a1)=(-1)1
a323-a222=123
∵a4-2a3=-(a3-2a2)=(-1)2
a424-a323=124

∵an-2an-1=-(an-1-2an-2)=(-1)n-2
an2n-an12n1=12n
以上n-1个式子相加,得:an2n=a12+122+123+…+12n
=1-12+122+123+…+12n
=1+12[112n]112
=23+1312n
∴an=23•2n+13•(-1)n
经检验,当n=1、2时也成立,
数列{an}的通项公式an=23•2n+13•(-1)n

点评 本题考查数列的通项及前,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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