题目内容
20．已知x，y，z为正数，求证：$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥3．分析 由基本不等式可得$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$≥2$\sqrt{\frac{x}{z}}$，进而可得$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{z}}$+$\frac{z}{x}$=$\sqrt{\frac{x}{z}}$+$\sqrt{\frac{x}{z}}$+$\frac{z}{x}$，由三项的基本不等式可得．
解答 证明：∵x，y，z为正数，
∴$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{z}}$=2$\sqrt{\frac{x}{z}}$，
∴$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{z}}$+$\frac{z}{x}$
=$\sqrt{\frac{x}{z}}$+$\sqrt{\frac{x}{z}}$+$\frac{z}{x}$≥3$\root{3}{\sqrt{\frac{x}{z}}•\sqrt{\frac{x}{z}}•\frac{z}{x}}$=3
当且即当x=y=z=1时取等号
∴原命题得证．
点评 本题考查基本不等式的应用和不等式的证明，属基础题．
练习册系列答案
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9．复数ω=$\frac{3i-1}{i}$的虚部和模依次是（ ）
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