题目内容
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD=CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．
证明：（1）设AC∩BD=H．连接EH，
∵AD=CD，DB平分∠ADC，
∴AH=HC．
又∵E为PC的中点，
∴EH∥PA．
又∵PA?平面BDE，EH?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）由（1）可知：BD⊥AC，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC．
又∵AC∩BD=H．
∴AC⊥平面PBD．
∵AD=CD，DB平分∠ADC，
∴AH=HC．
又∵E为PC的中点，
∴EH∥PA．
又∵PA?平面BDE，EH?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）由（1）可知：BD⊥AC，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC．
又∵AC∩BD=H．
∴AC⊥平面PBD．
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