Question

【题目】2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得﹣1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得﹣1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为和.

（1）在第1名物业人员投票结束后，A方案的得分记为ξ，求ξ的分布列；

（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析；（2）.

【解析】

(1) 由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后，列出ξ的分布列即可

(2) 记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

记选取A方案为小区管理方案的概率为P，

然后分别求出，，的值，则选取A方案为小区管理方案的概率为：

，然后计算求解即可.

（1）由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，

P（ξ=﹣1）=（1），P（ξ=0），P（ξ=1），

∴ξ的分布列为

（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

由（1）知，，

记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

，

记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

①若A方案比B方案多4分，有两类：

第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为；

第二类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为，

②若A方案比B方案多2分，有三类：

第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为；

第二类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为；

第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为.

故，

∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为.