Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，AB＝ADCD＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠PDC＝60°，E为BC的中点.

（1）证明：AD⊥PE.

（2）求直线PA与平面PDE所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）60°

【解析】

（1）取AD的中点O，连结PO，EO，通过PO⊥AD，EO⊥AD，推出AD⊥面PEO，即可证明AD⊥PE；

（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连HQ，求出平面PDE的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PA与平面PDE所成角.

（1）证明：取AD的中点O，连结PO，EO，

由PO⊥AD，EO⊥AD，PO∩EO＝O可知：AD⊥面PEO，且PE面PEO，

则AD⊥PE.

（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

作PQ⊥CD，PH⊥OE，连HQ，因PH⊥平面ABCD，知HQ⊥CD，

由∠PDC＝60°知DQ＝1，OH＝DQ＝1，由，

在Rt△PHO中，可知，则，

A（0，﹣1，0），D（0，1，0），E（3，0，0），

则，

设平面PDE的一个法向量为，

则，令，得

设直线PA与平面PDE所成角为θ，则，

则直线PA与平面PDE所成角为60°.