题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,△PAD为等边三角形,AB=ADCD=2,∠BAD=∠ADC=90°,∠PDC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:AD⊥PE.
(2)求直线PA与平面PDE所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)60°
【解析】
(1)取AD的中点O,连结PO,EO,通过PO⊥AD,EO⊥AD,推出AD⊥面PEO,即可证明AD⊥PE;
(2)以O为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,连HQ,求出平面PDE的法向量,然后利用空间向量的数量积求解直线PA与平面PDE所成角.
(1)证明:取AD的中点O,连结PO,EO,
由PO⊥AD,EO⊥AD,PO∩EO=O可知:AD⊥面PEO,且PE面PEO,
则AD⊥PE.
(2)以O为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
作PQ⊥CD,PH⊥OE,连HQ,因PH⊥平面ABCD,知HQ⊥CD,
由∠PDC=60°知DQ=1,OH=DQ=1,由,
在Rt△PHO中,可知,则
,
A(0,﹣1,0),D(0,1,0),E(3,0,0),
则,
设平面PDE的一个法向量为,
则,令
,得
设直线PA与平面PDE所成角为θ,则,
则直线PA与平面PDE所成角为60°.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息,得到如下表格:
潜伏期(单位:天) | |||||||
人数 | 17 | 41 | 62 | 50 | 26 | 3 | 1 |
(1)求这200名患者的潜伏期的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关;
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
50岁以上(含50岁) | 20 | ||
50岁以下 | 9 | ||
总计 | 40 |
(3)以这200名患者的潜伏期超过6天的频率,代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究,该研究团队在该地区随机调查了10名患者,其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少?
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
,其中