Question

（本小题满分17分）已知点，和互不相同的点，满足，其中、分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，是线段的中点．
(1)    求，的值；
(2)    点能否在同一条直线上？证明你的结论；
(3)    证明：对于给定的公差不为零的数列，都能找到惟一的数列，使得都在一个指数函数的图象上．

Answer 1

(1)
(2)见解析
(3)见解析

(1)是线段的中点.  (2分)
又,且不共线,由平面向量基本定理,知  (4分)
(2)由.由的公差为,的公比为,则由于互不相同,所以不会同时成立.  (5分)
若时,则,都在直线上; (6分)
若时,则,都在直线上; (7分)
若,点在同一条直线上与共线  (9分)
)()()()-()
=与矛盾,所以当时, 不在同一条直线上.  (11分)
(3)由    (12分)
设,则, 点都在一指数函数的图象上且
,   (15分)
所以,对于给定的,都能找到惟一的一个数列,,使得都在指数函数的图象上.  (17分)