Question

18．已知平面向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，-1），\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．若存在不同时为零的实数k和t，使$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{t^2}-3）\overrightarrow b，\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+t\overrightarrow b，且\overrightarrow x⊥\overrightarrow y$．
（1）试求函数关系式k=f（t）；
（2）求函数f（t）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标便可求得${\overrightarrow{a}}^{2}=4，{\overrightarrow{b}}^{2}=1，\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，根据$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$便有$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=-4k+t（{t}^{2}-3）=0$，这样解出k即可得出函数关系式k=f（t）；
（2）求f′（t），而由题意知t≠0，从而根据导数符号即可写出函数f（t）的单调区间．

解答 解：（1）${\overrightarrow{a}}^{2}=4，{\overrightarrow{b}}^{2}=1，\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
又$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$；
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=[\overrightarrow{a}+（{t}^{2}-3）\overrightarrow{b}]•（-k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）$=$-k{\overrightarrow{a}}^{2}-k（{t}^{2}-3）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$+t（{t}^{2}-3）{\overrightarrow{b}}^{2}$=-4k+t（t²-3）=0；
∴$k=\frac{1}{4}{t}^{3}-\frac{3}{4}t$；
即k=f（t）=$\frac{1}{4}{t}^{3}-\frac{3}{4}t$；
（2）f′（t）=$\frac{3}{4}{t}^{2}-\frac{3}{4}$；
∵k，t不同时为0，∴t≠0；
∴t∈（-∞，-1），（1，+∞）时，f′（t）＞0，t∈（-1，0），（0，1）时，f′（t）＜0；
∴f（t）的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，0），（0，1）．

点评 考查向量数量积的坐标运算，两向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，以及根据函数导数符号求函数单调区间的方法．