题目内容

18.已知平面向量$\overrightarrow a=(\sqrt{3},-1),\overrightarrow b=(\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2})$.若存在不同时为零的实数k和t,使$\overrightarrow x=\overrightarrow a+({t^2}-3)\overrightarrow b,\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+t\overrightarrow b,且\overrightarrow x⊥\overrightarrow y$.
(1)试求函数关系式k=f(t);
(2)求函数f(t)的单调区间.

分析 (1)根据向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$的坐标便可求得${\overrightarrow{a}}^{2}=4,{\overrightarrow{b}}^{2}=1,\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$,根据$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$便有$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=-4k+t({t}^{2}-3)=0$,这样解出k即可得出函数关系式k=f(t);
(2)求f′(t),而由题意知t≠0,从而根据导数符号即可写出函数f(t)的单调区间.

解答 解:(1)${\overrightarrow{a}}^{2}=4,{\overrightarrow{b}}^{2}=1,\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$;
又$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$;
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=[\overrightarrow{a}+({t}^{2}-3)\overrightarrow{b}]•(-k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})$=$-k{\overrightarrow{a}}^{2}-k({t}^{2}-3)\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$+t({t}^{2}-3){\overrightarrow{b}}^{2}$=-4k+t(t2-3)=0;
∴$k=\frac{1}{4}{t}^{3}-\frac{3}{4}t$;
即k=f(t)=$\frac{1}{4}{t}^{3}-\frac{3}{4}t$;
(2)f′(t)=$\frac{3}{4}{t}^{2}-\frac{3}{4}$;
∵k,t不同时为0,∴t≠0;
∴t∈(-∞,-1),(1,+∞)时,f′(t)>0,t∈(-1,0),(0,1)时,f′(t)<0;
∴f(t)的单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调减区间为(-1,0),(0,1).

点评 考查向量数量积的坐标运算,两向量垂直的充要条件,向量数量积的运算,以及根据函数导数符号求函数单调区间的方法.

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