Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{3m}$=1的一个焦点为（2，0）．
（1）求双曲线的实轴长和虚轴长；
（2）若M（4，0），点N（x，y）是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件便得到，c=2，而4m=4，这样即可求出双曲线的实轴及虚轴长；
（2）先写出双曲线的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，并且知道x≤-1，或x≥1，两点间距离公式表示出$|MN|=\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，然后由双曲线方程解出y²并带入上式，从而配方法求二次函数的最小值即可．

解答 解：（1）根据条件c=2，4m=4；
∴m=1；
∴双曲线的实轴长为$2\sqrt{m}=2$，虚轴长为2$\sqrt{3m}$=$2\sqrt{3}$；
（2）${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，x≤-1，或x≥1；
∴$|MN|=\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+3{x}^{2}-3}$=$\sqrt{4（x-1）^{2}+9}$；
∴x=1时，|MN|取到最小值3；
即|MN|的最小值为3．

点评 考查双曲线的标准方程，c²=a²+b²，双曲线的焦点、实轴及虚轴的概念，两点间距离公式，以及配方法求二次函数的最值，注意写出该题中的x的范围．