题目内容

【题目】已知函数

(1)曲线在点处的切线垂直于直线,求的值;

(2)讨论函数零点的个数.

【答案】(1)(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)求出曲线再点出的切线方程,根据两直线垂直的条件求出a的值;(2)a分情况讨论,得出单调性,由单调性求出最小值,再讨论最小值的大小来确实是否有零点。

试题解析(1)

因为在点处垂直于直线

所以,解得

(2)函数的定义域为

①当时, ,无零点;

②当时,,得

时,,函数单调递减;

时,,函数单调递增,

因为

且当时,,当时,

∴当时,即,函数有两个不同的零点;

时,即时,函数有一个零点;

时,即时,函数没有零点;

③当时,令,得

时,,函数单调递减;

时,,函数单调递增,

和当,均有

∴当时,即时,函数有两个不同的零点;

时,即时,函数有一个零点;

时,即时,函数没有零点;

综上,当时,函数有两个不同的零点;

时,函数有一个零点;

时,函数没有零点.

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