题目内容
【题目】已知函数.
(1)曲线在点处的切线垂直于直线:,求的值;
(2)讨论函数零点的个数.
【答案】(1)或.(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)求出曲线再点出的切线方程,根据两直线垂直的条件求出a的值;(2)对a分情况讨论,得出单调性,由单调性求出最小值,再讨论最小值的大小来确实是否有零点。
试题解析:(1),
因为在点处垂直于直线 ,
所以,,解得或.
(2)函数的定义域为,.
①当时, ,无零点;
②当时,,得.
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
∴.
因为,
且当时,,当→时,,,
∴当时,即,,函数有两个不同的零点;
当时,即时,函数有一个零点;
当时,即时,函数没有零点;
③当时,令,得.
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
∴.
当→和当→,均有,
∴当时,即,时,函数有两个不同的零点;
当时,即时,函数有一个零点;
当时,即时,函数没有零点;
综上,当或时,函数有两个不同的零点;
当或时,函数有一个零点;
当时,函数没有零点.
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