Question

【题目】已知点及圆： .

(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．

(2)设直线与圆交于， 两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.

试题解析:

(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.

又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，

由＝1，解得k＝－.

所以直线方程为，即3x＋4y－6＝0.

当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件

(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.

由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，

故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，

解得a<0.

则实数a的取值范围是(－∞，0)．

设符合条件的实数a存在．

由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.

而kAB＝a＝－，所以a＝.

由于，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB