Question

【题目】已知关于x的函数 ．
（1）如果函数 ，求b、c；
（2）设当x∈（ ，3）时，函数y=f（x）﹣c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤2，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 导数为f′（x）=﹣x2+2bx+c，

函数 ，可得f（1）=﹣ ，f′（1）=0，

即为﹣1+2b+c=0，﹣ +b+c+bc=﹣ ，

解得b=1，c=﹣1；b=﹣1，c=3．

当b=1，c=﹣1时，f′（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0，f（x）递减，不满足题意；

当b=﹣1，c=3时，f′（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），满足题意．

综上可得，b=﹣1，c=3

（2）解：函数y=f（x）﹣c（x+b）=﹣ x3+bx2，导数f′（x）=﹣x2+2bx，

由题意可得﹣x2+2bx≤2在x∈（ ，3）时恒成立，

即有2b≤x+ 的最小值，

由x+ ≥2 =2 ，当且仅当x= 时，取得最小值2 ．

即有2b≤2 ，解得b≤ ，

则b的范围是（﹣∞， ]

【解析】（1）求出函数的导数，由题意可得f（1）=﹣ ，f′（1）=0，解方程可得b，c，检验是否由极值点；（2）求得函数y=f（x）﹣c（x+b）=﹣ x3+bx2 ， 求出导数，由题意可得2b≤x+ 的最小值，运用基本不等式可得右边函数的最小值，即可得到a的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．